Fue una figura medular de la música de Buenos Aires. Integró las orquestas de Astor Piazzolla, Aníbal Troilo y Pedro Maffia, entre otras, y desarrolló una extensa carrera como líder.

Entre sus composiciones destacan obras como «Afiches», «Con pan y cebolla», «De Homero a Homero», «Desencanto» (todas con letras de Homero Expósito), «Viejo gringo» (dedicada a su padre), «Aguatero», «Cadícamo» (con letra de Enrique Bugatti), «Ciudadano», «Concertango», «El Nino», «El Tapir», «Fiesta de mi ciudad» (con letra de Andrés Lizárraga), «Fiesta y milonga», (milonga con letra de Eladia Blázquez), «Impar», «Mi amigo Cholo» (letra de Albino Gómez), «Mocosa» (letra de Andrés Lizárraga), «Para violín y piano», «Romance de tango» y «Un guapo del 900».
En 2003 fue distinguido con el título de Ciudadano Ilustre de la Ciudad de Buenos Aires y también fue Académico de Honor de la Academia Nacional del Tango, entidad desde la que compartió su historia y su saber en inolvidables veladas en las que recorría con conocimiento impar la historia de la canción porteña que lo tuvo como uno de sus protagonistas, creadores e intérpretes.
Se erigió en una de las figuras relevantes del tango del Siglo XX con una obra plural y diversa, donde pueden convivir tradición y novedad y donde se destacan también sus arreglos para los tres discos que grabó junto a Roberto Goyeneche.
Atilio comenzó a tocar el piano que le regaló su hermano Giusseppe, 14 años mayor, en la convalecencia de una operación en su niñez y desde muy temprano conoció el rigor del profesionalismo. Sus primeras actuaciones fueron en el conjunto de su hermano, conocido como «Pepe, el Tano Tango» y a los 15 años debutó profesionalmente en la orquesta de Roberto Dimas en las veladas del café Marzotto, donde lo escuchó Pedro Maffia, que un año después lo llevó a su orquesta del cabaret Tibidabo, con anuencia de su padre pero con la obligación de que terminada la función se subiera de inmediato al tranvía 16. Stampone tenía entonces 16 años y cursaba el colegio nacional.
Llega a la orquesta de Aníbal Troilo cuando Piazolla se desvincula y después es pianista de la orquesta de Astor entre 1946 y 1948, luego fue solista de Mariano Mores en teatros musicales y colaboró con Cobián. Perón le facilitó en 1950 un beca para perfeccionarte en el Conservatorio Santa Cecilia de Roma, pero estuvo solo un tiempo y prefirió seguir tocando, en una extensa gira por Europa y Asia, regresando al país en 1953, ocasión en la que se unió a otro grande del tango, el bandoneonista Leopoldo Federico, con el que fundó su primera orquesta, de gran suceso.
Para 1958 vuelve a ser convocado por Piazzolla para el mítico Octeto Buenos Aires, estando allí dos años hasta que lidera emprendimientos musicales propios. En 1964 inaugura Caño 14, famoso reducto del tango en una época no tan dorada y ese año sale de gira por paísea de Europa del Este, Brasil y Colombia, durante seis meses.
Para 1972 arma la orquesta típica Atilio Stampone e inicia históricas grabaciones con el Polaco Goyeneche. Su actividad es inabarcable, diversa, permanente: en 1995 se presenta con el Ballet Argentino de Julio Bocca en Nueva York y en los años siguientes sale de gira con la compañía del bailarín por Europa y Asia, estrenando en 1997 en el Luna Park su obra propia «Concertango», interpretada por Bocca y con coreografía de Ana Stekelman. En 2000 queda al frente de la Juan de Dios Filiberto, a la que dedicó todo su saber y calidad artística.
«Está bueno que la gente vuelva a aferrarse a los géneros populares en los últimos tiempos para saber dónde está parada, porque si no siente que pierde su identidad», dijo con sabiduría y apostando a un resurgir, en una entrevista de 2006.
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